人工智能模型 Claude 耗时 11 天，首次完成了对“费马大定理”的端到端、计算机可检查的证明。该证明使用 Lean 编程语言写成，将复杂的数学推理转化为机器可以自动验证的形式。这一成就标志着人工智能在形式化验证领域的重大突破，未来有望通过自动化工具来验证数学文献、发现错误并减轻人工审阅的负担，从而维护数学知识体系的可靠性。
核实数学证明的挑战
证明数学定理需要构建复杂的逻辑链条，任何一个环节出错都可能导致整个结论失效。因此，要深入理解并确认一个新成果的正确性，往往需要数学家花费数月甚至数年的时间。
- 费马大定理的历史： 皮埃尔·德·费马在 1637 年提出了这个猜想，但他留下的笔记中并没有足够空间写下他所说的“绝妙证明”。此后 350 多年，无数数学家尝试证明均以失败告终。
- 怀尔斯的证明： 1995 年，安德鲁·怀尔斯爵士发表了第一个被接受的证明，长达 129 页。即便如此，该证明在提交后仍被发现存在一个关键漏洞，怀尔斯花费了一年时间才将其修复。
- 形式化验证的必要性： 为了确保证明的绝对正确，一种方法是让计算机来检查。像 Lean 这样的证明助手可以算法化地验证逻辑的每一步。但难点在于，需要将人类易于理解的证明语言，重写为计算机能懂的、包含所有细枝末节的形式化语言。
对于人类读者来说，证明过程会省略许多显而易见的步骤，但 Lean 需要看到每一步，无论多么微不足道。
AI 如何完成证明
研究人员利用一个名为 Prove2Me 的开放协作平台，让多个 Claude AI 代理协同工作，最终在 11 天内完成了证明。
这个平台通过以下方式提供了帮助：
- 维护任务图： 平台构建了一个定理陈述的图形结构，帮助 AI 代理决定下一步应该证明什么，从而有效协作并避免工作混乱。
- 提高效率： 通过将定理和证明分离开，加快了编译速度并减少了资源消耗。
- 简化路径： 平台为每个定理维护了自然语言描述，使得搜索和复用变得更容易，最终简化了整个证明路径。
最终，Claude 生成了 1300 万行 Lean 代码，并证明了近 3 万个中间定理，其规模是 Lean 主要数学库 Mathlib 的五倍以上。
“FLT 根目录在网站上显示为‘已证明’。历史性时刻（待重新检查）。” — Claude 在意识到自己完成任务时的部分想法记录
对数学研究未来的意义
这次成功证明了利用 AI 大规模形式化数学是完全可行的，这将深刻影响数学研究领域。
- 减轻审阅负担： 人工智能辅助的形式化可以分担人类审阅者的工作量。未来，在发表一篇供人类阅读的论文时，附上一份形式化证明可能会成为常态。
- 确保AI生成内容的可靠性： 随着 AI 产生越来越多的数学成果，利用 AI 辅助验证可以确保这些新知识的严谨性。
- 发现并纠正错误： 自动化形式化技术将成为新工具，帮助发现当前数学知识库中可能存在的错误。
正如数学家凯文·巴扎德所说：“如果现在可以自动形式化费马大定理，那我们向着自动形式化整个现代数学文献迈出了一大步。这些技术将减轻审稿人的负担，并使我们能够严格检查由大语言模型生成的数学内容。” 最终，这项技术有助于维护和增强人类对数学知识体系的信任。